Bán kính hội tụ

+ lúc như thế nào chuỗi (1) hội tụ? Nói rõ hơn xung quanh

*
chuỗi (1) còn quy tụ trên gần như điểm
*
như thế nào khác?

+ Trừ

*
ra, ví như chuỗi (1) hội tụ thì nó quy tụ cho đâu? Liệu số lượng giới hạn đó bao gồm đề nghị
*
?

Để vấn đáp thắc mắc đầu, ta quan lại gần cạnh chuỗi lũy quá một biện pháp hòa bình, không hẳn là chuỗi Taylor của hàm như thế nào,

*
.

Bạn đang xem: Bán kính hội tụ

*

Câu hỏi trước tiên được vấn đáp qua nhị ý sau:

+ (Định lý Abel) Có một số thực ko âm

*
để

– Khi

*

Tại hai đầu mút nói tầm thường ta phân vân chuỗi tất cả hội tụ không. Chẳng hạn chuỗi

*
bao gồm nửa đường kính quy tụ
*
, hội tụ trên
*
cùng phân kỳ trên
*
.

Vấn đề trên mút ít những bạn có thể đọc thêm ngơi nghỉ bài

+ Từ ý bên trên ta tất cả khái niệm bán kính quy tụ. Vậy bán kính hội tụ được tính nlỗi nào?

Bán kính hội tụ được xem nhờ vào công thức Cauchy-Hardamard

– hoặc

*
cùng với
*
,

– hoặc

*
cùng với
*
.

Lưu ý rằng hai số lượng giới hạn bên trên chưa cứng cáp lâu dài, tuy nhiên vẫn đang còn bán kính hội tụ. Lúc đó nửa đường kính được xem nhờ vào công thức

*
với
*
.

Các bạn có thể thấy vấn đề này qua ví dụ

*

gồm bán kính của chuỗi (2) là

*
.

Bán kính cũng có thể bởi

*
, ví dụ điển hình Khi
*
.

Bán kính cũng hoàn toàn có thể bởi

*
, chẳng hạn Lúc
*
.

lúc nửa đường kính quy tụ

*
0" class="latex" /> thì chuỗi (2) hội tụ những bên trên
*
" class="latex" /> cùng với ngẫu nhiên
*
.

Chuỗi gồm các số hạng là đạo hàm của từng số hạng của chuỗi (2)

*

cũng có thể có bán kính quy tụ đó là nửa đường kính hội tụ của chuỗi (2) vì

*
.

Khi đó chuỗi các đạo hàm cũng quy tụ đa số trên

*
" class="latex" /> với ngẫu nhiên
*
. Do kia chuỗi các đạo hàm quy tụ mang đến đạo hàm của chuỗi (2) tại phần đa điểm trong
*
. Chuỗi (2) hội tụ đến hàm
*
khả vi trên
*
.

Bằng quy hấp thụ đã dẫn mang lại chuỗi (2) hội tụ đến hàm

*
khả vi vô hạn trên
*
. Đạo hàm cấp cho
*
, của
*
chính là hàm số lượng giới hạn của chuỗi có những số hạng là đạo hàm cung cấp
*
của số hạng tương xứng vào chuỗi (2). Từ kia tất cả chuỗi (2) là knhì triển Taylor của hàm
*
.

Giờ ta đưa quý phái thắc mắc thiết bị hai, nghĩa là bây giờ chuỗi (2) có mặt từ việc knhị triển Taylor của một hàm khả vi vô hạn

*

*
.

Câu hỏi đồ vật nhì biến hóa, khi bán kính quy tụ

*
0" class="latex" /> yêu cầu chăng

*
với
*
?

Câu hỏi này new nghe dường như không quan trọng lắm nhưng các ví dụ sau đã cho thấy sự quan trọng.

Xem thêm: Sinh 2006 Mệnh Gì - Sinh Năm 2006 Mệnh Gì

lấy ví dụ 1: Hàm

*
khẳng định bởi

*
lúc
*
0" class="latex" />

*
Lúc
*

là hàm khả vi vô hạn và đạo hàm mọi cung cấp của chính nó tại

*
đều có quý giá bằng
*
.

lấy một ví dụ 2: Hàm

*
khẳng định bởi

*
Khi
*

*
Khi
*

là hàm khả vi vô hạn cùng đạo hàm phần nhiều cung cấp của nó trên

*
đều sở hữu quý giá bằng
*
.

Hai ví dụ trên đều sở hữu chuỗi Taylor trên

*
đồng hóa
*
. Nói giải pháp không giống hàm
*
và những tổ hợp tuyến tính của bọn chúng là những hàm không giống nhau nhưng có thuộc chuỗi Taylor tại
*
.

ngoài ra, trường hợp một hàm

*
tất cả chuỗi Taylor hội tụ đến chính nó thì tổng của
*
cùng ngẫu nhiên hàm làm sao trong số hàm
*
giỏi tổ hợp tuyến đường tính của nhì hàm này có cùng chuỗi Taylor cùng với hàm
*
. Khi kia ví như ta chỉ biết chuỗi Taylor của
*
thì ta chưa chắc chắn những về
*
.

Vậy ĐK gì nhằm đảm bảo an toàn

*
Khi
*

Thác triển lẻ, tuần hoàn chu kỳ

*
ta được hàm ko thường xuyên trên
*
.

Tiếp tục chuỗi Fourier-sine ta gồm một số trong những công dụng độc đáo sau.

Bài 2.5.56, 57 (trong “Problems in mathematical analysis III”).

Cho dãy

*
là dãy đối chọi điệu, hội tụ về
*
. Chuỗi Fourier-sine

*

quy tụ cho hàm thường xuyên Lúc còn chỉ khi

*
.

Crúc ý: Nếu chỉ quan tâm cho quy tụ thì cần sử dụng Định lý Dirichlet ta ko cần ĐK

*
.

Bài 2.5.58 (vào “Problems in mathematical analysis III”).

Cho dãy

*
là dãy đơn điệu, quy tụ về
*
. Chuỗi Fourier-sine

*

quy tụ mang đến hàm bị ngăn Khi và chỉ còn khi

*
(tức là bao gồm số
*
0" class="latex" /> nhằm
*
” bạn dạng thân J. Fourier cũng đơn giản nhận định rằng chuỗi Fourier của hàm tiếp tục sẽ hội tụ. Phải mang đến năm 1873 Paul du Bois Reymond bắt đầu đưa ra ví dụ một hàm liên tục gồm chuỗi Fourier phân kỳ tại một vài ba điểm.

Xem thêm: Bài 58 Tổng Kết Chương 3 Quang Học

Một thắc mắc lại được đề ra, liệu gồm biện pháp nào khác để từ bỏ các hệ số Fourier của một hàm tiếp tục, tuần trả chu kỳ luân hồi

*
“khôi phục” lại được hàm tiếp tục đó?

Năm 1900, khi ấy mới 20 tuổi, L. Fejér gồm câu vấn đáp khẳng định mang đến thắc mắc bên trên nlỗi sau:

Tổng Cesaro

*

hội tụ hầu hết đến hàm tuần hoàn chu kỳ

*
, tiếp tục
*
bên trên
*
" class="latex" />.

(Quý khách hàng đọc rất có thể xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Fej%C3%A9r%27s_theorem)

Từ tác dụng trên của L. Fejer, U. Dini giới thiệu phương pháp soát sổ nhẹ nhàng hơn ĐK khả vi từng khúc nlỗi sau:


Chuyên mục: Tin Tức