Công thức Bernoulli – Gia sư Tâm Tài Đức

Tóm tắt lý thuyết

Trong nhiều bài toán thực tế, chúng ta thường gặp tình huống lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử. Trong mỗi thử nghiệm, một sự kiện cụ thể có thể xảy ra hoặc không xảy ra và chúng tôi quan tâm đến tổng số lần xuất hiện của sự kiện a trong một loạt thử nghiệm. Ví dụ: nếu chúng tôi sản xuất hàng loạt một loại bộ phận nhất định, chúng tôi thường quan tâm đến tổng số bộ phận tiêu chuẩn trong suốt quá trình sản xuất. Vấn đề này có thể được giải quyết dễ dàng nếu các phép thử là độc lập.

Các phép thử được cho là độc lập nếu xác suất của một sự kiện xảy ra trong mỗi phép thử không phụ thuộc vào việc liệu sự kiện đó có xảy ra trong một phép thử khác hay không. Ví dụ: tung nhiều đồng xu hoặc lấy mẫu ngẫu nhiên n sản phẩm từ một lô để tạo các phép thử độc lập.

Giả sử có n phép thử độc lập được thực hiện. Trong mỗi phép thử, chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố a xảy ra hoặc biến cố a không xảy ra. Xác suất để sự kiện a xảy ra trong mỗi lần thử bằng p và xác suất để sự kiện a không xảy ra là 1 – p = q. Sau đó, trong n thử nghiệm độc lập ở trên, xác suất để sự kiện a xảy ra chính xác k lần được ghi lại là pk(a), được tính theo công thức bemoulli sau:

(k = 0, 1,2,…, n)

Bằng chứng: Giả sử sự kiện của ai đó “xảy ra lần thứ i” (i = 1, 2, …, n). Dẫn xuất

Xem Thêm : Dung dịch quá bão hòa là gì

sẽ là sự kiện “đang dùng thử i, không xảy ra”. Gọi b là biến cố “trong n phép thử, a xảy ra đúng k lần”. b có thể xảy ra theo những cách khác nhau. Ví dụ: k phép thử a đầu tiên xảy ra và n-k phép thử a tiếp theo không xảy ra. Trong trường hợp này, chúng tôi có thể đại diện cho nó bằng một sự kiện sản phẩm:

Hoặc n-k thử nghiệm đầu tiên không xảy ra và n-k thử nghiệm cuối cùng xảy ra. Trong trường hợp này, chúng ta có thể biểu diễn nó bằng một sự kiện sản phẩm có dạng:

Tổng các tích đó là số cách chọn của k phép thử khi biến cố a xảy ra, bằng

Sự kiện b là tổng của các sự kiện sản phẩm này.

Giả định Bernoulli là gì? Kiểm định Bernoulli và ứng dụng của nó vào xác suất thống kê

Giả định Bernoulli là gì?

Giả thuyết Bernoulli Daniel Bernoulli là một nhà toán học ở thế kỷ 19, người đã đề xuất giải pháp cho một nghịch lý được gọi là “Nghịch lý xanh”. Petersburg.

Vấn đề là giải thích tại sao mọi người không trả nhiều tiền để chơi các trò chơi như tung đồng xu cho đến khi ngửa. Nếu lần tung thứ hai xuất hiện mặt ngửa, người chơi sẽ nhận được 2² đơn vị tiền thưởng (ví dụ: 4 đồng xu). Vào lần xuất hiện mặt ngửa thứ 3, người chơi nhận được 2³ đơn vị thưởng, vào lần thứ tư, người chơi nhận được 2∧4 đơn vị thưởng, v.v. Tổng xác suất nhận được tiền thưởng phải bằng 1, nhưng với số lần tung vô hạn, giá trị kỳ vọng của tiền thưởng cũng là một số vô hạn. Do đó, có thể giả định rằng người chơi sẽ đầu tư rất nhiều tiền vào những trò chơi như vậy.

Xem Thêm : Khối C03 Gồm Những Ngành Nào? Các Trường Xét Tuyển

Khi giải thích lý do tại sao mọi người chấp nhận trò chơi, Bernoulli lập luận rằng những người đánh bạc quan tâm đến lợi ích của phần thưởng hơn là bản thân phần thưởng. Bằng cách giả định về lợi ích cận biên giảm dần của thu nhập, Bernoulli đã chỉ ra rằng các trò chơi có thể có giá trị kỳ vọng vô hạn của tiền, nhưng giá trị kỳ vọng của lợi ích hữu hạn. Do đó, giả thuyết này được quan tâm đầu tiên vì đây là nỗ lực đầu tiên nhằm thay thế các mục tiêu tiền tệ bằng việc tối ưu hóa lợi nhuận trong các điều kiện rủi ro hoặc không chắc chắn.

Kiểm định Bernoulli và ứng dụng của nó trong xác suất thống kê

Trước đó, vào thế kỷ 17, nhà toán học nổi tiếng Bernoulli Jacob Bernoulli đã phát minh ra bài kiểm tra Bernoulli. Một chuỗi các thử nghiệm Bernoulli được định nghĩa là một số thử nghiệm ngẫu nhiên trong đó chúng tôi thực hiện n lần lặp lại. Chúng ta gọi chuỗi phép thử này là chuỗi phép thử Bernoulli nếu các điều kiện sau được đáp ứng:

Đây là một loạt các bài kiểm tra độc lập, nghĩa là kết quả của mỗi bài kiểm tra không phụ thuộc vào kết quả của các bài kiểm tra khác.

Trong bất kỳ phép thử thứ i nào, biến cố a xảy ra với xác suất p bằng nhau.

Nếu sự kiện a xảy ra trong thử nghiệm i, chúng tôi nói rằng thử nghiệm i thành công

Công thức của bài kiểm tra Bernoulli được viết như sau:

Công thức trên được sử dụng để tính xác suất để sự kiện a xảy ra chính xác k lần trong một chuỗi n phép thử Bernoulli.