Tính chất, dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh hình vuông lớp 8

Tính chất, kí hiệu và cách chứng minh của 8 loại bình phương

Khái niệm, tính chất và cách nhận biết bình phương, cách chứng minh bình phương được học sinh học trong môn Hình học học kì 8 môn Toán. Để giúp các em hiểu rõ hơn về phần hình học vô cùng quan trọng này, thpt soc trang chia sẻ bài viết dưới đây. Hãy theo dõi! Tại đây, chúng ta ghi nhớ một cách có hệ thống toàn bộ kiến ​​thức, phương pháp chứng minh bình phương hay ho.

I. lý thuyết bình phương bạn cần ghi nhớ

1. Định nghĩa

Các bạn đang xem: Tính chất, kí hiệu và cách chứng minh của 8 loại hình vuông

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Nói chung: abcd là hình vuông

Nhận xét:

+ Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

+ Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.

+ hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

2. Thuộc tính

Trong một hình vuông có:

• Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Có hai cặp cạnh song song.
• Có 4 cạnh bằng nhau.
• Có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp, tâm của hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của các đường chéo của hình vuông.
• Một đường chéo chia hình vuông thành hai phần bằng nhau.
• Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến và trực tâm trùng nhau tại một điểm.

3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác của một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có các góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Hai. Cách tốt nhất để chứng minh bình phương

Việc chứng minh một tứ giác là hình vuông có thể được thực hiện theo một trong ba cách sau:

1. Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình vuông dựa vào hình thoi vuông cân

Cách: Theo hình thoi vuông góc để chứng minh tứ giác là hình vuông ta làm như sau:

• Chứng minh tứ giác là hình thoi.
• Chứng minh tứ giác là góc vuông.

Ví dụ hình vuông abcd. Lấy các điểm e, k, p, q theo thứ tự ab, bc, cd, da sao cho ae = bk = cp = dq. Tứ giác ekpq là gì? Tại sao?

Ta có: ab = bc = cd = da (gt)

ae = bk = cp = dq (gt)

=>eb=kc=pd=qa

Xét aeq và bke, ta có:

ae = bk (gt)

a = b = 90°

qa = eb (đã chứng minh ở trên)

=> Δaeq = Δbke (c.g.c)

=>eq = ek

Chứng minh tương tự, ta có: ek = kp, kp = pq

Suy ra: ek = kp = pq = eq => tứ giác ekpq là hình thoi. (1)

Ngược lại: aeq = bke

⇒ góc aqe = bke

Xem Thêm : Sổ chủ nhiệm lớp 3 năm học 2022-2023 – Hoatieu.vn

góc aqe + aeq = 90°

=>Góc bke + aeq = 90°

Có, góc bke + qek + aeq = 180°

Suy ra: góc qek = 180° – góc bke – góc aeq = 180° – 90° = 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ekpq là hình vuông (hình thoi có một góc vuông là hình vuông (dpcm)

2. Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo kí hiệu hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

Phương pháp: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu của hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, ta làm như sau:

• Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
• Chứng minh tứ giác có 2 cạnh kề bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác abc vuông góc với a. Lấy các điểm h và g trên cạnh bc sao cho bh = hg = gc. Vẽ các đường vuông góc với bc đi qua h và g lần lượt cắt ab, ac tại e và f. Tứ giác efgh là gì? Tại sao?

Theo đề bài, ta có:

Δabc là góc vuông tại a => b = c = 45°

Δbhe vuông tại h, góc b = 45° => Δbhe vuông tại h

=>hb = anh ấy

Δcgf vuông tại g, góc c= 45° => Δcgf vuông tại g

=>gc = gf

bh = hg = gc (giả thuyết)

=>he = hg = gf

Có eh // gf (cũng vuông góc với bc) và eh = gf

=> tứ giác hefg là hình bình hành (tứ giác có các cạnh bằng nhau là hình bình hành).

Ngoài ra, góc ehg = 90° nên hefg là hình chữ nhật và eh = hg (chứng minh ở trên).

Vậy hefg là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông). (đmcm)

3. Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo kí hiệu hình chữ nhật có hai đường chéo

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông xét từ dấu của hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác, ta làm như sau:

• Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
• Chứng minh rằng các đường chéo của tứ giác là tia phân giác của các góc.

Ví dụ: Tam giác abc vuông góc với a, phân giác ad. Gọi m, n là chân các đường vuông góc kẻ từ d đến ab, ac. Chứng minh rằng tứ giác amdn là hình vuông.

Xét tứ giác amdn, ta có:

Góc man = 90° (giả định)

dm ⊥ ab (giả thuyết) => góc amd = 90°

dn ⊥ ac (giả sử) => tổng các góc = 90°

Suy ra tứ giác amdn là hình chữ nhật (ba tứ giác vuông cân)

Có một đường chéo quảng cáo, là đường phân giác của một

Vậy hình chữ nhật amdn là hình vuông

Ba. Luyện tập Chứng minh bình phương

Bài tập 1: Cho hình chữ nhật abcd có ab = 2ad. Gọi p, q lần lượt là trung điểm của ab và cd.

Xem Thêm : Tổng hợp thông tin du học Trung Quốc ngành tiếng Trung thương mại

A. Chứng minh các tứ giác apqd và pbcq là hình vuông

Gọi h là giao điểm của aq và dp. Gọi k là giao điểm của cp và bq. Chứng minh phqk là hình vuông

bài 2: Đối với mnrs hình chữ nhật có mn = 2ms. Gọi p, q là trung điểm của mn;sr.

A. Chứng minh các tứ giác mpqs và pnrq là hình vuông

Gọi h là giao điểm của mq và sp. Gọi k là giao điểm của rp và nq. Chứng minh phqk là hình vuông

Bài tập 3: Cho hình chữ nhật abcd có ab = 10cm và ad = 5cm. Gọi p, q lần lượt là trung điểm của ab và cd.

Xem Thêm : Tổng hợp thông tin du học Trung Quốc ngành tiếng Trung thương mại

A. Chứng minh các tứ giác apqd và pbcq là hình vuông

Gọi h là giao điểm của aq và dp. Gọi k là giao điểm của cp và bq. Chứng minh phqk là hình vuông

Bài 4: Cho tam giác vuông abc tại a. Đường phân giác của ad. Gọi m, n là chân của dây treo từ d đến ab, ac.

A. Chứng minh amdn là hình vuông

Cho p đối xứng qua d qua m. Chứng minh adbp là hình thoi

nmpa là hình bình hành

Quay lại 5: Cho tam giác vuông efk tại e. Chỉnh sửa đường phân giác. Gọi m, n lần lượt là chân các đường rủ từ d đến ef, ek.

A. Chứng minh rằng emdn là hình vuông

Cho p đối xứng qua d qua m. Chứng minh edfp là hình thoi

nmpe là hình bình hành

Bài 6: Cho tam giác vuông abc tại a. Đường phân giác của ad. Gọi m, n là chân của dây treo từ d đến ab, ac.

Chứng minh amdn là hình vuông

Cho p đối xứng qua d qua m. Tính độ dài dp biết ac = 10cm

nmpa là hình bình hành

Bài 7: Cho hình thang vuông abcd có góc a bằng góc d và bằng 90, ab = 3cm, ad = 8cm. cđ = 5 cm. Gọi m, n lần lượt là trung điểm của bc, ad. Gọi k là hình chiếu của m trên cd. Chứng minh mndk là hình vuông

Bài tập 8: Cho hình thang vuông abcd có góc a bằng góc d và bằng 90. ab = 6cm, quảng cáo = 16cm. cđ = 10 cm. Gọi m, n lần lượt là trung điểm của bc, ad. Gọi k là hình chiếu của m trên cd. Chứng minh mndk là hình vuông

Bài 9: Hình vuông abcd. Lấy các điểm e, f theo thứ tự thuộc các cạnh cd, da sao cho af = de. Chứng minh rằng ae = bf. và ae vuông góc với bf

Lùi 10: Hình vuông abcd. Lấy các điểm e và f lần lượt là trung điểm của các cạnh cd và da. Chứng minh rằng ae = bf. và ae vuông góc với bf

bài 11: hình vuông abcd. Cho các điểm m, n, p, q lần lượt thuộc các cạnh ab, bc, cd, da sao cho am = bn = cp = dq Tứ giác mnpq là gì? Tại sao?

Bài 12: Tam giác abc. Điểm m thuộc bc. Vẽ đường thẳng song song với ab qua m và cắt ac tại d, vẽ đường thẳng song song với ac qua m và cắt ab tại e

A. tứ giác adme là gì tại sao

Tìm điều kiện để tam giác abc có tứ giác adme là hình chữ nhật

Baøi 13: Cho tam giác abc vuông góc với a. Điểm m thuộc bc. Vẽ đường thẳng song song với ab qua m và cắt ac tại d, vẽ đường thẳng song song với ac qua m và cắt ab tại e

Tứ giác adme là gì? tại sao

Điều kiện để tìm tam giác abc là tứ giác adme là hình vuông

Bài tập 14: Vuông tại a, trung tuyến của am. Gọi i là trung điểm của ab và n là điểm đối xứng qua i và m

A. Tứ giác anmc, ambn là gì? Tại sao?

Cho ab = 4cm, ac = 6cm. Tính diện tích tứ giác ambn

Nếu có tam giác vuông abc thì ambn là hình vuông

Bài tập 15: Cho tứ giác abcd, gọi m, n, p, q lần lượt là trung điểm của ab, bc, cd, da.

A. Chứng minh rằng mnpq là hình bình hành.

Cần thêm điều kiện gì để hai đường chéo ac và bd của tứ giác mnpq lần lượt là hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông

Baøi 16: Cho dabc bình phương tại a, ab = 5cm, ac = 12cm, am là trung tuyến.

A. Tính độ dài bc,am.

Lấy điểm d trên tia am đối xứng qua a qua m. Chứng minh rằng ad = bc. Tam giác vuông abc cần thêm điều kiện thì abdc là hình vuông

Như vậy là các em vừa ôn tập và hệ thống hóa kiến ​​thức về khái niệm, tính chất, kí hiệu hình vuông và cách chứng minh hình vuông lớp 8 thật hay. Lưu nó để xem thêm! Xem thêm Cách chứng minh hình thang trong liên kết này!

Đăng bởi: thpt sóc trăng

Danh mục: Giáo dục