Đạo hàm thành phần, Đạo hàm có hướng, và Gradient – Thien Hoang

Nói đến đạo hàm, như học sinh lớp 11, 12, đạo hàm biểu thị mức độ biến thiên của một hàm số. Ví dụ: hàm \(y=f(x)\) có đạo hàm \(\frac{dy}{dx}\) để biểu diễn hàm \(y\ ) khi nhập biến \(x \) khi thay đổi một lượng rất nhỏ \(dx\). Đối với đồ thị trên mặt phẳng tọa độ, đạo hàm tại một điểm trên đồ thị bằng hệ số góc của đường thẳng. Đây là lý do tại sao có nguyên tắc tìm tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm bằng cách tính đạo hàm. Nếu bạn chơi đá gà ở trường đại học, thì bạn hẳn đã quen thuộc với những gì tôi đang nói ở đây.

Những đạo hàm như vậy là những đạo hàm thông thường.

Các đạo hàm riêng hoạt động theo cùng một cách.

Đạo hàm riêng của biến \(y\), được biểu thị dưới dạng \(f_y\) hoặc \(\frac{\partial z}{\partial y}\) sẽ là nếu chúng ta coi tất cả các biến khác \(y\) là hằng số, phép tính giống như đạo hàm thông thường. Đối với các đạo hàm thông thường, chúng tôi sử dụng từ \(d\), đối với các đạo hàm riêng, chúng tôi sử dụng \(\partial\) (phát âm là “del” hoặc “partial”).

Khi coi \(x\) là một hằng số, tôi sẽ sử dụng một mặt phẳng, giả sử \(x=1\), để cắt đồ thị \(z=x^3y^2 ) .

Giữ các giao lộ thành các đường \(1^3y^2=y^2\)

Ưu điểm của việc sử dụng đạo hàm riêng là chúng ta có thể quan sát sự dao động của hàm khi chúng ta chỉ thay đổi một biến và giữ nguyên các tham số đầu vào còn lại. Để có được thông tin đầy đủ về tốc độ thay đổi này, chúng ta cần biết biến nào được giữ cố định và giá trị của chúng là gì, sau đó cắm các giá trị đó vào.

Xem Thêm : Phân tích 6 câu đầu Bài ca ngất ngưởng siêu hay – Hoatieu.vn

Dựa trên ví dụ trên:

• Khi \(x=1\) là \(2y\), đạo hàm riêng của biến \(y\) với đại lượng \(z\).
• Tại điểm \(x=1, y=2\) trên mặt phẳng \(z=f(x,y)\), đạo hàm riêng của biến \(y\) bằng (2y = 2\nhân 2 = 4\).
• Tại thời điểm này, nếu bạn giữ \(x\) và di chuyển \(y\) một lượng rất nhỏ bằng \(\một phần y\) thì số tiền\( z \) cũng thay đổi một lượng, nhưng gấp 4 lần \(\partial y\) mà bạn thay đổi bằng \(y\).
• Đó là lý do tại sao chúng ta viết \(\frac{\partial z}{\partial y} = 4\).

Độ dốc của hàm \(f(\textbf{v})\), trong đó \(\textbf{v} = (v_1, v_2, …, v_n)\) là một vectơ :

Mình không biết dịch từ “đạo hàm có hướng” sang tiếng Việt thế nào nên dịch sơ sơ thôi. Hệ số có hướng có nhiều ý nghĩa và chức năng khác nhau, trong bài viết này chúng tôi chỉ tập trung mô tả tốc độ thay đổi của hàm số.

Đạo hàm có hướng là một dạng tổng quát của đạo hàm riêng. Nếu đạo hàm riêng chỉ xét đến sự thay đổi của một biến thì đạo hàm có hướng xét đến sự thay đổi của nhiều biến.

Tôi sẽ nhóm các biến thành một vectơ, tức là thay vì viết \(z=f(x,y)\) tôi sẽ viết \(z=f(\textbf{v})\) và ngầm định (\textbf{v}=\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\).

Vì tôi có 2 biến \(x, y\) nên không gian đầu vào của tôi sẽ là một mặt phẳng. Không gian đầu ra của hàm \(f\) là một tia số. Hàm \(f\) chịu trách nhiệm “kết nối” một điểm trong không gian đầu vào với một điểm trong không gian đầu ra, bạn có thể coi nó như một bản đồ.

Giả sử tôi có một vectơ \(\textbf{w}\), câu hỏi đặt ra là liệu điểm của tôi trong không gian đầu vào có di chuyển một chút theo sau vectơ \( textbf { w}\), các điểm trong không gian đầu ra của chúng ta sẽ bị dịch chuyển bao nhiêu lần?

Xem hình bên dưới. Hai điểm cùng màu là tập vào ra tương ứng của hàm \(f\). Ví dụ ở bên trái, điểm màu đỏ \((1,2)\) làm đầu vào sẽ cho điểm màu đỏ ở hình bên phải với giá trị \(f(x,y)=x^3y^2= 4 \) .Bây giờ nếu ở hình bên trái, mình di chuyển chấm đỏ sang vị trí chấm xanh theo hướng (chỉ hướng, khoảng cách được xác định bởi \(h\rightarrow 0 \)) \ (\textbf{w}=(1,3)\), độ dời của hình bên phải sẽ lớn hơn độ dời của hình bên trái bao nhiêu lần?

Ký hiệu \(\frac{\partial f}{\partial \textbf{w}}\) hoặc \(\nabla_{\textbf{w }}f (\textbf {v})\) và đạo hàm có hướng. Nếu bạn biết cách tính đạo hàm thông thường, chắc chắn những điều sau đây sẽ không có gì đáng ngạc nhiên:

Xem Thêm : GƯƠNG SOI TOÀN THÂN GIÁ RẺ { +99 Gương Đứng }

Một số tài liệu sẽ định nghĩa nó hơi khác một chút, chỉ xem xét hướng của vectơ và được sử dụng để tính tốc độ thay đổi của hàm:

Lưu ý: Chà, chà… điều này là để đảm bảo rằng tôi luôn xem xét các phép dời hình theo vectơ đơn vị (vectơ có độ dài 1). Nếu bạn không nhận được nó, hãy tưởng tượng nó. Trong ví dụ trên, cho dù chúng tôi lấy \(\textbf{w}=(1,3)\) hay \(\textbf{w}=(2,6)\) thì chúng tôi muốn \ ( \nabla_{\textbf{w}}f(\textbf{v})\) xuất ra một giá trị, phải không? Vì mục tiêu hiện tại của đạo hàm có hướng là mô tả hàm số thay đổi như thế nào khi đầu vào được thay đổi theo một hướng nhất định.

Một số người thậm chí còn xem xét kích thước của \(\textbf{w}\) và cho rằng kích thước của nó càng lớn thì tốc độ tăng trưởng phải càng lớn. Tôi đã thử đặt câu hỏi này trên reddit và quora. Hóa ra nó tiện dụng cho các tính chất khác :)) (“Bởi vì nó tiện dụng về mặt toán học!”). Tôi sẽ xem xét vấn đề này sâu hơn nếu có cơ hội. Bây giờ, nếu tôi chỉ tính tốc độ của một hàm, tôi cần sử dụng vectơ đơn vị vì những lý do nêu trên.

Xem Thêm : Phân tích 6 câu đầu Bài ca ngất ngưởng siêu hay – Hoatieu.vn

Dựa trên ví dụ trên:

Tại một điểm đầu vào cụ thể, bạn có thể thay thế vào và tính toán đạo hàm theo hướng tại điểm đó, còn được gọi là hệ số góc.

Tỷ lệ thay đổi chức năng \(f\):

Tại một điểm đầu vào cố định, hàm \(f\) phát triển nhanh nhất (tối đa) khi \(w\) cùng hướng với \(\nabla f\) (thuộc tính sản phẩm hướng ).

Do đó, độ dốc được gọi là hướng đi lên dốc nhất.

Các đường đồng mức gần nhau gần như song song và cách nhanh nhất để di chuyển giữa hai đường thẳng song song là đi qua một đường thẳng đứng chung. Con đường này trùng với hướng gradient, vì vậy gradient luôn vuông góc với đường viền.