Giới Hạn Hàm Nhiều Biến – Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm

dần đến điểm

và viết

, nếu dãy khoảng cách

dần đến 0 khi

.

Đang xem: Giới hạn hàm nhiều biến

Nhận xét:

Vì

nên :

Ví dụ 1:

;

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm

là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy

sao cho

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm

(có thể trừ điểm

).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến

khi và chỉ khi: với mọi dãy

dần tiến đến

ta đều có:

Khi đó, ta viết:

hay

Xem Thêm : Đại Học Tôn Đức Thắng Logo Tdt Có Ý Nghĩa Gì? Tdt Là Viết Tắt Của Từ Gì

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi

(hay là

nếu:

0,\exists \delta >0:d(M,M_0)

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến

theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến

, nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy

,

cùng dần tiến về

nhưng :

.

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi

.

2. Định lý:

Cho

thì:

1.

= a+b ” class=”latex” />

2.

(c là hằng số hữu hạn)

3.

= a.b ” class=”latex” />

4.

= \dfrac{a}{b} (b \ne 0) ” class=”latex” />

3. Định lý giới hạn kẹp:

Xem Thêm : Thuốc Hải Cẩu Hoàn Có Tác Dụng Gì Và Mua Ở Đâu Tốt, Hải Cẩu Gold Phạm Thiên Long

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

Hơn nữa:

Khi đó:

4. Các ví dụ:

a.

Xem thêm: Ứng Dụng Của Encoder – Tìm Hiểu Về Ứng Dụng Của Các Loại Encoder

b.

.

Cách 1: Ta xét hai dãy

Ta có:

.

Và:

nhưng

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có:

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Xem thêm: Bài Tập Unit 4 Lớp 7 Music And Arts Có Đáp Án, Trắc Nghiệm Tiếng Anh Lớp 7 Unit 4 Có Đáp Án

c.

Ta có:

Mà:

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có:

Vậy:

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị

, xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

Nếu tồn tại giới hạn:

thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi

và viết:

.