Các dạng phương trình bậc 4 và cách giải – Diễn đàn Toán học

Trong môn đại số ở trường phổ thông, chúng ta chỉ học một dạng phương trình bậc hai cụ thể. Đó là phương trình bậc hai. Tuy nhiên trong các đề thi đại học dạng phương trình có xu hướng mở rộng và trở về dạng phương trình bậc hai và các phương trình bậc hai này không phải là dạng bậc hai dưới đây xin giới thiệu dạng phương trình ${x^4} + a Lời giải của phương trình nguyên tố {x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ trong đó $a,b,c,d$ là các số thực khác 0: 1. Các phép biến đổi logic và sáng tạo trong nhiều trường hợp cụ thể2. Phương pháp hệ số bất định để nhân tử đa thức 3. Công thức tổng quát nghiệm phương trình bậc hai 4. Phương pháp đồ thị. Phương pháp:1. Thay đổi hợp lý và sáng tạo trong những hoàn cảnh nhất định. Ví dụ 1. Giải phương trình ${\left({{x^2} – a} \ right)^2} – 6 {x^2} + 4x + 2a = 0$ (1) Giải phápPhương trình (1) được viết dưới dạng ${x^4} – 2a{x^2} + {a^2} – 6{x^2} + 4x + 2a = 0 $ hoặc ${x^4} – \left({2a + 6} \right){x^2} + 4x + {a^2} + 2a = 0$ (2) Phương trình (2) là một phương trình bậc hai của x mà bạn chưa học cách giải. Nhưng chúng ta có thể viết phương trình (1) dưới dạng ${a^2} – 2\left( {{x^2} – 1} \right)a + {x^4} – 6{x^ 2} + 4x = 0$ (3) và coi (3) là phương trình bậc hai của a. Với quan điểm này, ta tìm a đối với x: ${a_{1,2}} = {x^2} – 1 \pm \sqrt {{x^4} – 2{x^2} + 1 – x{}^4 + 6{x^2} – 4x} $\begin{array} = {x^2} – 1 \pm \sqrt {4{x^2} – 4x + 1 } \ = {x^2} – 1 \pm \left( {2x – 1} \right) \\ \end{array} $ Giải phương trình bậc hai khoảng x ${ x^2 } + 2x – a – 2 = 0$ (4) và ${x^2} – 2x – a = 0$ (5) Ta tìm nghiệm (1) theo a. Điều kiện của (4) là $3 + a \geqslant 0$ và nghiệm của (4) là ${x_{1,2}} = – 1 \pm \sqrt {3 + a } $ Điều kiện là (5) Nghiệm của là $1 + a \geqslant 0$ và nghiệm của (5) là ${x_{3,4}} = 1 \pm \sqrt {1 + a} $Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^4} – {x^3} – 5{x^2} + 4x + 4 = 0$ (1) Giải: Quy trình giải phương trình (1) được viết dưới dạng: $ begin{array} {x^4} – {x^3} – {x^2} – \left( {4{x^2} – 4x – 4} \ phải) = 0 \\ { x^2}\left( {{x^2} – x – 1} \right) – 4\left( {{x^2} – x – 1 } right) = 0 \\ \left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} – x – 1} \right) = 0 \ \end{array} $ Vậy (1) Có 4 nghiệm ${x_1} = – 2;{x_2} = 2;{x_3} = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{ 2} ;{x_4} = \frac{ {1 + \sqrt 5 }}{2}.$

Ví dụ 3. Giải phương trình $32{x^4} – 48{x^3} – 10{x^2} + 21x + 5 = 0$ (1) Lời giải : Ta viết (1) dưới dạng: $2\left( {16{x^4} – 24{x^3} + 9{x^2}} \right) – 7\left ( { 4 {x^2} – 3x} \right) + 5 = 0$ và nhập: $y = 4{x^2} – 3x$ Sau đó (1) chuyển đổi thành $2{y^2} – 7y + 5 = 0$ Giải phương trình bậc hai sau cho x từ đó ${y_1} = 1$ và ${y_2} = \frac{5}{2}$ (thay ${y_1} = 1$ và ${y_2} = frac{5}{2}$ frac{5}{2}$ to $y = 4{x^2} – 3x$ ): $4{x^2} – 3x – 1 = 0$ và $8 {x ^2} – 6x – 5 = 0 $ Ta được nghiệm của (1). Ví dụ 4. Giải phương trình $2{x^4} + 3{x^3} – 16{x^2} + 3x + 2 = 0$ (1)Lời giải: Đây là một phương trình bậc hai (và một hồi quy, khi $\frac{e}{a} = {\left( {\frac{d}{b} } \right)^2}$) với Ta giải phương trình này như sau: chia cả hai vế của phương trình cho ${x^2}$ (khác) không) thì (1) bằng $2{x^2} + 3x – 16 + \frac{3}{x } + \frac{2}{{{x^2}}} = 0$ hoặc $2 \left( {{x^2} + \frac{ 1}{{{x^2}}}} right ) + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – 16 = 0$ set $y = x + \frac{1}{x}$ then ${ y^ 2} – 2 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}$ Phương trình (1) chuyển thành: $2\left( {{y^2 } – 2} right) + 3y – 16 = 0$ hoặc $2{y^2} + 3y – 20 = 0$ Nghiệm của phương trình này là ${y_1} = – 4,{y_2} = \frac {5 }{ 2} $ Vậy $x + \frac{1}{x} = – 4$ và $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ tức là ${x^2 } + 4x + 1 = 0$ và $2{x^2} – 5x + 2 = 0$ Từ đó ta tìm được nghiệm của (1) là: ${x_{1,2}} = – 2 pm sqrt 3 , {x_3} = \frac{1}{2},{x_4} = 2$. Do đó kết hợp các ví dụ 2, 3, 4 ta giải được phương trình bậc 4 khi biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình, để được phương trình quen thuộc và nghiệm của phương trình. 2. Đa thức nhân tử sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^4} + 4{x^3} – 10{ x^2} + 37x – 14 = 0$ (1) Giải pháp: Hãy thử tách vế trái thành hai thừa số bậc hai ${x^2} + px + q$ và ${x^2} + rx + s$, trong đó $p,q, r, s$ là các hệ số nguyên không xác định. Ta có: ${x^4} + 4{x^3} – 10{x^2} + 37x – 14 = \left( {{x^2} + px + q} \right)\left ( {{x^2} + rx + s} \right)$ (2) Để xác định hệ số của các số hạng cùng bậc ở cả hai vế của đẳng thức ta có các phương trình sau $\left\{ begin{array} p + r = – 4 \\ s + q + pr = – 10 \\ ps + qr = 37 \\ qs = – 14 \\ \end{array} \right.$ thông qua hệ thống này Đối với phương trình cuối cùng, chúng tôi đoán các giá trị nguyên có thể nhận được tương ứng với q và s. Thử lần lượt các giá trị của q ta thấy $q = 2,s = – 7$ Phương trình bậc 2 và bậc 3 của hệ trên cho ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{ mảng} pr = – 5 \\ – 7p + 2r = 37 \\ \end{array} \right.$ Không có $p$ bạn nhận được $2{r^2} – 37r + 35 = 0$ this Nghiệm số nguyên của phương trình $r$ là 1. Vậy ta suy ra $p = – 5$ thay vì các giá trị $p,q,r,s$ tìm được ở (2) thì: ${x^4} + 4{x^3} – 10{x^ 2 } + 37x – 14 = \left( {{x^2} – 5x + 2} \right)\left( {{x^2 } + x – 7} \right)$ Phương trình (1) tương ứng với $\left( {{x^2} – 5x + 2} \right)\left( {{x^2} + x – 7} \right) = 0$ Giải phương trình tích này, ta get ( 1) Giải pháp sau: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2};x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {29} }} {2}$ Lưu ý:

Xem Thêm : Ovac 20 là thuốc gì? | Vinmec

Trong một số trường hợp chúng ta không thể sử dụng cách này vì đôi khi phép phân tích trên không như ý muốn của chúng ta, chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên. 3. Giải pháp chung của phương trình bậc hai Mục tiêu của chúng ta là phân tích đa thức ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thành hai nhân tử bậc hai bằng cách sử dụng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau: $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}ax + \frac{1}{ 2 }h} \right)^2} + b{x^2} + cx + d – \frac{1}{4}{a^2}{x^2} – \frac{1}{ 4 }{h^2} – h{x^2} – \frac{1}{2}ahx$ $f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}h} \right)^2} – \left[ {\left( {h + frac{1}{4 } {a^2} – b} \right){x^2} + \left( {\frac{1}{2}ah – c} \right)x + \left( {\ frac {1}{4}{h^2} – d} \right)} \right]$ (2) Một tam giác trong ngoặc có dạng: $a{x^2} + bx + c$ $a{ x^2} + bx + c$ có thể được viết là: $a{x^2} + bx + c = {\left( {px + q} \right) ^2}$ (3) nếu và chỉ nếu ${b^2} – 4ac = 0$ hoặc $4ac – {b^2} = 0$ ta có: $4\left( {h + \frac{1 }{4}{a^2} – b } \right)\left( {\frac{1}{4}{h^2} – d} \right) – {\left( { frac{1}{2}ah – c } \right)^2} = 0$ Đây là phương trình bậc ba $h$n phải có ít nhất một nghiệm đúng. Giả sử giải pháp là $h = 1$. (Chúng ta có thể lập nghiệm của phương trình bậc ba của Cardano (nhà toán học người Ý) ${x^3} + p{x^2} + q = 0$(*) thông qua các hệ số của nó bất kỳ phương trình bậc ba tổng quát nào: ${a_0}{ y^3} + {a_1}{y^2} + {a_2}y + {a_3} = 0,{a_0} \ne 0$ có thể được trả về dưới dạng chuyển đổi dạng (*) từ ẩn số$ y = x – frac{{{a_1}}}{{3{a_0}}}$ Công thức được viết là: $x = \sqrt [3]{{ – \frac{q} {2} + \ sqrt { \frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{ 27}}} }} + \sqrt[3 ]{{ – \ frac{ q}{2} – \sqrt {\frac{{{q^2}}}{4} + \frac{ {{p^3}}}{{27} }} }}$ trong đó Mỗi ô vuông gốc trong các mệnh đề sau có ba giá trị, nhưng phải chọn một cặp giá trị mà tích của nó là $ – \frac{p} {3}$) Khi đó (2) được viết là: $f\left( x right) = {\left( {{x^2} + \frac{1}{ 2}ax + \frac{1}{2}t} \right)^2} – { left ( {px + q} \right)^2}$ (4) Vậy: $f\ left( x \right) = \left( {{x^2 } + \frac{1} {2 }ax + \frac{1}{2}t + px + q} \right) left( {{x^2} + \frac{1}{ 2}ax + \frac{ 1} {2}t – px + q} \right) = 0$ Từ đó: ${x^2} + \left( {\frac{1}{2}a + p} \right) x + \frac{1}{2}t + q = 0$ hoặc ${ x^2} + \left( {\frac{1}{2}a – p} \right)x + frac {1}{2}t – q = 0$ Giải hai phương trình bậc hai cho ta tập nghiệm của (1): ${x_{1,2}} = – \frac{1}{ 2}\left ( {\frac{1}{2}a + p} right) \pm \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}a + p} \right)}^2} – 4q – 2t} $ và ${x_{3 , 4}} = – \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{ 2}a – p} \right) \pm \sqrt {{{\left( { \frac{1}{2}a – p} \right)}^2} + 4q – 2t} $ Ví dụ 6. Giải phương trình: ${x^4} – {x ^3} – 7{x^2} + x + 6 = 0 $Lời giải: Theo Công thức (3) ta được $h$: $4\left( {h) + \ frac{{29}}{4}} \right)\left( {\frac{1}{4 }{ h^2} – 6} \right) – {\left( { – \ frac{1}{2}h – 1} \right)^2} = 0$ tức là ${h^3 } + 7{h^2} – 25h – 175 = 0$ Ta tìm được nghiệm thực của $h Giá trị $ của phương trình này là $h = 5$ theo (3) và $h = t = 5,a = – 1,, b = – 7,c = 1,d = 6$ Khi đó có thể tính được $p = \frac{7}{2},q = \frac{{- 1}}{2}$ Phương trình o đã cho sẽ được tính theo (4) Được biểu diễn dưới dạng: $\begin{array} {\left( {{x^2} – \frac{1}{2}x + \frac{5 }{2 } } \right)^2} – {\left( {\frac{7}{2}x – \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \ leftrightarrow \left ( {{x^2} – \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} + \frac{7}{2}x – frac{ 1 }{2}} \right)\left( {{x^2} – \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} – \frac{7 }{2 } x + \frac {1}{2}} \right) = 0 \\ \end{array} $ Khi đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: $\left\{ { – 1 ; – 2;3;1 } \to\}$4. Biểu đồ. Phương pháp:

Để giải phương trình bậc hai bằng đồ thị ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$(1), chúng ta đặt ${x^2} = y – mx$ Phương trình (1) trở thành: ${y^2} – 2mxy + {m^2}{x^2} + axy – ax{m^2} + b{x^2} + cx + d = 0 $ Để loại bỏ các số hạng với $xy$ trong phương trình này, ta phải có: $ – 2m + a = 0$ và $m = \frac{a}{2}$ Vì vậy, nếu chúng ta đặt ${ x^2} = y – mx$ và $m = \frac{a}{2}$ tức là ${x^2} = y – \frac{a}{2}x$ Khi đó (1) trở thành: ${y^2 } + \frac{{{a^2}}}{4}{x^2} – \frac{{{a^2}}}{2}{x^2} + b{x^2} + cx + d = 0$ (2) thay thế ${x^2}$ bằng $y – \frac{a}{2}x$ và biến đổi (2) thành ${x^2} + {y^2 } + \left( {\frac{a}{2} + \frac{{{a^3}}}{8} – \frac{{ab }}{ 2} + c} \right ) x + \left( {b – \frac{{{a^2}}}{4} – 1} \right)y + d = 0$ Vậy phương trình ( 1) Tương đương với hệ phương trình $ \left\{ \begin{array} y = {x^4} + \frac{a}{2}x, (3) \\ {x^2 } + {y^2} + \left( {\frac{a}{2} + \frac{{{a^3}}}{8} – \frac{{ab} }{2} + c} \right)x + \left( {b – \frac{{{a^2}}}{4} – 1} \right)y + d = 0,(4 ) \ \end{ mảng} right.$ Vậy tọa độ giao điểm của parabol hình (3) và giao điểm của đường tròn hình (4) chính là nghiệm của phương trình (1) đã cho nếu ta đặt $my = { x ^2} + \frac{a}{2}x(m \ne 0)$ Khi đó nghiệm của phương trình (1) là tọa độ giao điểm của hai parabol $y = \frac {1} {m} {x ^2} + \frac{a}{{2m }}x$ và $x = \frac{{{m^2}{y^2}}}{{\frac{{ ab}}{2} – \frac{{{a^3}} }{8} – c}} + \frac{{m\left( {b – \frac{{{a) ^2 }}}{4}} \right)y}}{{\ frac{{ab}}{2} – \frac{{{a^3}}}{3} – c}} d$Bài tập ứng dụng: Bây giờ, chúng ta hãy áp dụng phương pháp trên cho giải phương trình bậc hai sau: $\begin{array} 1){x^4} + 4 {x^3} + 3{x^2 } + 2x – 1 = 0, \\ 2){x^ 4 } + 2{x^3} + 5{x^2} + 4x – 12 = 0 , \\ 3)6{x^ 4} + 5{x^3} – 38{x​​^2 } + 5x + 6 = 0, \\ 4){x^4} + 5{x^3} – 12{x^2} + 5x + 1 = 0, \\ 5){x^4 } + 2{x^3} – 2{x^2} + 6x – 15 = 0. \ \ \end{array} $