Toán 10 – Mệnh đề toán học – O₂ Education

Bài học này giới thiệu lý thuyết và các ví dụ về mệnh đề toán học trong SGK Toán 10. Để luyện tập, vui lòng tham khảo bài viết Luyện tập mệnh đề toán học

1. Khái niệm mệnh đề

Trong cuộc sống thực, chúng ta thường gặp những câu nói mang tính khẳng định về một sự việc, hiện tượng, tính chất mà tính đúng sai rất rõ ràng, ví dụ: “Một tam giác đều có ba cạnh bằng nhau”, “Hà Nội là thủ đô Việt Nam”, ” $ pi $ con số này không hợp lý “…

Đặc điểm chung của những khẳng định này là true-false hoàn toàn có tính xác định và chúng ta có thể biết khẳng định đó là đúng hay sai, bất kể ý kiến ​​chủ quan của người nói. Chúng được gọi là các mệnh đề toán học hoặc logic hoặc đơn giản là các mệnh đề và được định nghĩa như sau:

Mệnh đề

là một câu khẳng định [câu lệnh] đúng hay sai. Một tuyên bố không thể vừa đúng vừa sai.

các mệnh đề thường được viết bằng chữ in hoa, chẳng hạn như

$ p $: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”.

Sự thật là sự thật, và lời nói dối là lời nói dối. Ví dụ, “số pi là số vô tỉ” là một phát biểu đúng, trong khi “phương trình x ^ 2 + 1 = 0 có nghiệm” là một phát biểu sai.

Câu mệnh lệnh và câu nghi vấn không có đúng hay sai, việc đúng hay sai của câu cảm thán phụ thuộc vào ý kiến ​​chủ quan của mỗi người nên chúng không phải là mệnh đề. Ví dụ, câu “Trời mưa ở Nanding vào ngày 1 tháng 4 năm 2021” là một mệnh đề, trong khi “Hôm nay trời mưa phải không?” Hoặc “Trời mưa!” Không phải là một mệnh đề.

Cũng có một số câu lệnh không xác định.

Ví dụ 1. Câu lệnh sau có phải là mệnh đề không? Nếu có, hãy cho biết câu đó đúng hay sai.

• $ a: $ “12 là số nguyên tố”.
• $ b: $ “$ pi $ không phải là số hữu tỉ.”
• $ c : $ “Cấm hút thuốc!”
• $ d: $ “Bài tập này khó quá!”
• $ e: $ “Nếu diện tích hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng. “
• $ f: $” Tam giác đều nếu và chỉ khi tam giác đó là tam giác cân và góc bao gồm bằng $ 60 ^ khoanh $. “
• $ g: $ “Tổng các góc trong của một tam giác bằng $ 60 ^ khoanh $. Tổng bằng $ 360 ^ khoanh. $”

2. Câu phủ định

Khi xử lý các mệnh đề, chúng ta thường gặp các cặp mệnh đề có bản chất đúng và sai đối lập nhau. Ví dụ, xét mệnh đề $ p: $ “một hình thoi có 4 cạnh bằng nhau.” Sau đó nói rằng “một hình thoi không có bốn cạnh bằng nhau ”. hoặc “không phải là hình thoi có bốn cạnh bằng nhau”. Chúng được gọi là phủ định của mệnh đề $ p $, bởi vì mệnh đề $ p $ là đúng, do đó, phủ định của nó là sai.

Mệnh đề

“không phải $ p $” là sự phủ định của mệnh đề $ p, là dấu $ overline {p}. $ Nếu $ p $ là true thì $ overline {p} $ là false và ngược lại.

Để tạo một mệnh đề phủ định từ một mệnh đề đã cho, chúng ta chỉ cần đặt trước mệnh đề đã cho bằng cụm từ “not”, hoặc chúng ta có thể tìm từ trái nghĩa để minh họa. Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét ví dụ sau.

Ví dụ 2. Hãy xem xét tính đúng và sai của các câu sau và đưa ra các mệnh đề phủ định:

• $ p: $ “Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau.”
• $ q: $ “Phương trình $ x ^ 4 + 1 = 0 $ không có nghiệm.”

Xem Thêm : Top 22 game anime trên PC, Android, iOS đẹp và hay nhất

li> li>

• $ r: $ “$ sqrt {2}> frac {3} {2} $.”
• $ s: $ “$ ( sqrt {2} – “sqrt {18}) ^ 2> 8 $.”
• $ t: $ “Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. “
• $ u: $” Nếu hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. ”

Xem thêm Cách đưa ra điều khoản phủ định

3. mệnh đề quay lại, mệnh đề tương đương

Khi chứng minh một vấn đề, hầu hết các câu lệnh chúng tôi sử dụng đều có dạng “nếu-thì” và chúng được gọi là các câu lệnh tiếp theo.

Đối với hai mệnh đề $ p $ và $ q $, câu lệnh “if $ p $ then $ q $” được gọi là mệnh đề tiếp theo, được biểu thị bằng “$ p rightarrow q $”.

Các mệnh đề sau đúng hay sai như sau, khi $ p $ đúng, mệnh đề “$ p rightarrow q $” là sai, $ q $ là sai và ngược lại thì đúng. Ví dụ:

• Nếu $ p $ là “25 là một hình vuông hoàn hảo” và $ q $ là “25 là một số tổng hợp”, thì câu lệnh $ p rightarrow q $ đúng vì $ p $ và $ q $ đúng.
• Nếu $ p $ là “25 là một hình vuông hoàn hảo” và $ q $ là “25 là một số nguyên tố”, thì câu lệnh $ p rightarrow q $ là sai vì $ p $ là True, $ q $ đều sai.
• Nếu $ p $ là “25 là số nguyên tố” và $ q $ là “25 là số chẵn” thì câu hỏi tương tự $ p rightarrow q $ là đúng vì $ p $ và $ q $ đều là giả . Ngoài ra, câu lệnh $ p rightarrow q $ luôn đúng nếu câu lệnh $ p $ sai.

Chúng ta xét hai mệnh đề sau, $ p $: “Hai tam giác đồng dạng” và $ q $: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau”.

Khi đó mệnh đề “$ p rightarrow q $” là: “Nếu hai tam giác đồng dạng thì diện tích của hai tam giác đó bằng nhau”.

Chúng ta thấy rằng nếu có $ p $, nghĩa là, nếu có điều kiện “hai tam giác đồng dạng”, chúng ta có thể suy ra rằng diện tích của chúng bằng nhau, nghĩa là, $ q $; nếu diện tích của chúng bằng nhau , chỉ suy ra Nó là không đủ để chúng bằng nhau. Nói như vậy là chưa đủ có nghĩa là phải có thêm các điều kiện, chẳng hạn như chúng phải giống nhau thì mới đủ để suy ra chúng bằng nhau. Nhưng chúng không thể bằng nhau nếu không có điều kiện các diện tích bằng nhau, tức là sự bằng nhau của các diện tích là điều kiện cần để suy ra bình đẳng của chúng, nhưng không phải là điều kiện đủ.

Nói chung, $ p $ được gọi là giả thuyết, $ q $ được gọi là kết luận hoặc:

• $ p $ là điều kiện đủ để có $ q, $
• $ q $ là điều kiện cần để có $ p. $

Để hiểu rõ hơn về điều kiện cần và đủ, mời các bạn xem bài viết Điều kiện cần và đủ là gì?

Đối với mệnh đề “$ p rightarrow q $”. Mệnh đề “$ q rightarrow p $” được gọi là nghịch đảo của mệnh đề “$ p rightarrow q $”.

Ví dụ 3. Phát biểu các nghịch đảo của các định lý sau và quyết định xem chúng đúng hay sai.

a: “Hình tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi”. b: “Hình vuông là hình tứ giác có bốn góc vuông”

Đối với hai mệnh đề $ p $ và $ q $. Mệnh đề “$ p $ nếu và chỉ khi $ q $” được gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu là “$ p leftrightarrow q $”. Câu lệnh “$ p leftrightarrow q $” đúng nếu và chỉ khi câu lệnh $ p $ và $ q $ đều đúng hoặc sai.

Khi đó ta nói “$ p $ là điều kiện cần và đủ để có $ q $”.

Ví dụ 4. Trái ngược với các định lý sau và cho biết các phát biểu này đúng hay sai. Nếu có thể, hãy sử dụng các mệnh đề tương đương.

• “Nếu một tứ giác là hình vuông thì tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau”.
• “Nếu hai tam giác đồng dạng thì hai tam giác đồng dạng và có cạnh bằng nhau”.
• “Nếu hai số nguyên là số lẻ thì tích của chúng là số lẻ”.

Nguyên tắc.

• Một mệnh đề trái ngược là phát biểu: “Nếu một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình vuông”. Phát biểu này sai vì hình thoi cũng có 4 cạnh bằng nhau, nhưng không phải là hình vuông.
• Mệnh đề ngược lại là phát biểu: “Nếu hai tam giác đồng dạng và có một cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. Nó bằng nhau.” Phát biểu này sai vì hai tam giác đồng dạng. các cạnh của $ abc $ và $ a’b’c ‘$ lần lượt là 3, 4, 6 và 6, 8, 12 đồng dạng và có các cạnh bằng 6 nhưng không bằng nhau.
• Một mệnh đề nghịch đảo là một mệnh đề: “Nếu tích của hai số nguyên là số lẻ thì hai số nguyên đó là số lẻ”. Câu này đúng, vì vậy có thể nói: “Hai số nguyên là số lẻ nếu và chỉ khi tích của chúng là số lẻ”.

Phương pháp chứng minh

Xem Thêm : So sánh Forex và chứng khoán: Bạn nên đầu tư vào thị trường nào ?

Một cách rất hiệu quả để chứng minh các câu lệnh dạng “$ a rightarrow b $” là phương pháp bác bỏ. Cụ thể, để chứng minh rằng “$ a rightarrow b $” là đúng, chúng tôi chứng minh rằng “$ overline {b} rightarrow overline {a} $” là đúng.

Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu tích của hai số nguyên $ a $ và $ b $ là số lẻ thì $ a $ và $ b $ là số lẻ.

Mô tả. Giả sử ngược lại, cả $ a $ hay $ b $ đều không lẻ, tức là $ a $ chẵn hoặc $ b $ chẵn. Khi đó $ ab $ là số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy, nếu tích của hai số nguyên $ a $ và $ b $ là số lẻ, thì $ a $ và $ b $ là số lẻ.

Ví dụ 6. Cho $ a, b, c $ là ba số thực bất kỳ, chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng: $$ a ^ 2 + b ^ 2 geqslant 2bc, quad b ^ 2 + c ^ 2 geqslant 2ca, quad c ^ 2 + a ^ 2 geqslant 2ab $$

Mô tả. Giả sử ngược lại, cả ba bất đẳng thức đều sai, đó là “$ a ^ 2 + b ^ 2 <2bc $", "$ b ^ 2 + c ^ 2 <2ca $", "$ c ^ 2 + a ^ 2 <2ab $ ". Cộng mỗi vế thứ ba của bất đẳng thức trên vào [a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 <2bc + 2ca + 2ab. ] Suy ra $ (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 <0, $ là vô lý. Vì vậy, giả thiết của chúng tôi là sai, rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức đã cho là đúng.

Ví dụ 7. Có sáu điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏ hoặc xanh lam. Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho, có ba điểm sao cho chúng là ba đỉnh của tam giác có các cạnh cùng màu.

Mô tả. Coi $ ​​a $ là một trong sáu điểm đã cho. Sau đó, hãy xem xét năm đoạn thẳng (mỗi điểm nối $ a $ với năm điểm còn lại). Vì mỗi đoạn thẳng chỉ có màu đỏ hoặc xanh nên theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất ba trong số năm đoạn thẳng trên có cùng màu. Giả sử có thể giả sử các phân đoạn $ ab_1, ab_2, ab_3 $ có cùng màu xanh lam. Chỉ có hai khả năng:

• Nếu ít nhất một trong ba đoạn thẳng $ b_1b_2, b_2b_3, b_3b_1 $ có màu xanh lam thì có một tam giác có ba cạnh màu xanh lục và kết luận của câu hỏi là đúng.
• Nếu không đúng như vậy, tức là $ b_1b_2, b_2b_3, b_3b_1 $ màu đỏ, thì ba điểm cần tìm là $ b_1, b_2, b_3, $, vì $ b_1b_2b_3 $ là một điểm có ba cạnh đỏ hình tam giác.

3. Mệnh đề biến

Hãy xem xét câu lệnh: $$ x + 2 & gt; 0 $$ Đây không phải là mệnh đề vì chúng ta chưa biết đánh giá đúng hay sai của nó, nhưng khi chúng ta cho $ x $ một giá trị nhất định, nhất định, chúng ta nhận được mệnh đề, Ví dụ: khi chúng ta cho $ x = -2 $, chúng ta nhận được mệnh đề sai “$ -2 + 2> 0 $”, nhưng khi chúng ta cho $ x = 1 $, chúng ta nhận được mệnh đề đúng “$ 1 + 2 >; $ 0 “.

Một câu lệnh như trên được gọi là mệnh đề biến.

Một câu lệnh có độ đúng hay sai phụ thuộc vào giá trị của một biến được gọi là câu lệnh chứa một biến. Mệnh đề chứa biến $ p (x) $ là một mệnh đề chứa biến $ x, và với mỗi giá trị của biến $ x $ ta nhận được một mệnh đề.

Ví dụ 8. Tìm $ x $ sao cho mệnh đề sau là đúng.

• “$ x $ là số tự nhiên nhỏ hơn 15 và chia hết cho 3”
• “$ 2x ^ 2-5x + 2 = 0 $”
• ” $ x $ là một số dương thỏa mãn $ (x-2) ^ 2> x ^ 2 + 13 $ ”
• “ $ x $ không thỏa mãn đẳng thức $ (2x-5) (x +) 6) = $ 0 ”

Đối với mệnh đề chứa biến $ p (x) $ với $ x in mathbb {d} $ thì khai báo:

• “Đối với tất cả $ x in mathbb {d}, p (x) $ true” là một mệnh đề, được ký hiệu là “$ forall x in mathbb {d}, p (x)) Đô la ”. Câu lệnh này sai nếu ít nhất một $ x_0 in mathbb {d} $ làm cho $ p (x_0) $ sai.
• “tồn tại $ x in mathbb {d}, p (x) $ true” là một mệnh đề, được ghi là “$ tồn tại x in mathbb {d}, p (x) $ “. Câu lệnh này đúng nếu có ít nhất một $ x_0 in mathbb {d} $ làm cho $ p (x_0) $ đúng.

Để đưa ra tuyên bố phủ định cả hai điều trên, hãy xem xét mệnh đề cụ thể sau đây

“Trên $ 1 {,} 6 $ m cho mỗi học sinh lớp 10a5.”

Câu này đúng hay sai? Phủ định của nó là gì? Câu phủ định là “Không phải tất cả học sinh lớp 10a5 đều cao hơn 1,6m”. Nó có nghĩa là gì? Có nghĩa là “ ít nhất một học sinh lớp 10a5 không nào cao hơn 1,6m”. Nói cách khác, “ hiện học sinh lớp 10a5 không cao hơn 1,6m”. Từ đó, chúng ta có thể rút ra những kết luận chung sau: