Trọng tâm là gì? Khái niệm, tính chất và cách xác định

Trọng tâm của tam giác là một kiến ​​thức quan trọng trong môn toán phổ thông. Trọng tâm là gì và công thức tính trọng tâm của một tam giác là gì? Hãy đọc bài viết dưới đây để hiểu thêm về trọng tâm của tam giác, một kiến ​​thức rất quan trọng và phổ biến ở trường phổ thông.

Vấn đề là gì?

Theo từ điển Hán Việt, trọng điểm là trọng tâm: nặng là trọng lượng, “trọng lượng”, tâm là trái tim, “tâm”.

Danh từ trọng tâm:

Vật lý: Điểm mà trọng lực tác dụng lên một vật.

Toán học: Giao điểm của ba đường trung tuyến trong một tam giác.

Điểm quan trọng nhất: trọng tâm làm việc, tâm làm việc, tâm tam giác, tâm tứ giác, tâm đường,…

Trong tiếng Anh, trọng tâm là center, ví dụ: center of weight, barycenter, barycentre.

Tiếng Tây Ban Nha: baricentro gđ….

• Center được hiểu là vị trí ở giữa một cái gì đó.
• Trong toán học, trọng tâm là: giao điểm của ba đường trung tuyến của một tam giác xuất phát từ ba đỉnh của tam giác.
• Có nhiều định nghĩa về trọng tâm trong nhiều lĩnh vực khác nhau, ví dụ: trọng tâm của tam giác, trọng tâm của tứ giác, trọng tâm của một ngôi nhà, tâm của một con đường, trọng tâm của một bài toán , tập trung vào vật lý,…

Ý nghĩa của toán học là gì?

Trước khi tìm hiểu khái niệm trọng tâm của tam giác, chúng ta cần hiểu trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Từ đó ta có khái niệm:

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Ví dụ: Đối với tam giác abc, từ các đỉnh của tam giác, chúng ta lần lượt vẽ các đường trung trực am, bn và đường trung trực cp. Gọi g là giao điểm của ba đường trung tuyến. Điểm g là trọng tâm của tam giác abc.

Cho học sinh dễ hình dung khi sử dụng tam giác abc. Ta vẽ từ đỉnh a đến cạnh đối diện để được trung điểm d, từ b đến trung điểm e, và từ c đến trung điểm f. Do đó ba điểm này sẽ cắt nhau tại g nên ta gọi g là trọng tâm.

Tính chất trọng tâm của tam giác

Khoảng cách từ tâm đến đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài trung tuyến ứng với đỉnh.

• ga = 2/3 giờ sáng
• gb = 2/3 tỷ
• gc = 2/3 điểm

Tâm tam giác vuông

Cách xác định trọng tâm tam giác vuông cũng giống như cách xác định trọng tâm tam giác thường.

Ba đường trung tuyến md, ne, pf cắt nhau tại trọng tâm o. Ta có md là trung vị của pmn bình phương nên md = 1/2 pn = dp = dn.

Trọng tâm của tam giác cân

Vì tam giác abc cân tại a nên ag không chỉ là đường trung trực mà còn là đường cao và là tia phân giác, từ đó ta có thể suy ra kết quả về trọng tâm của tam giác cân abc như sau:

p>

• Góc xấu bằng góc cad.
• Tâm ad vuông góc với cạnh đáy bc.

Tâm tam giác vuông cân

Mặt khác, do tam giác abc vuông góc với a nên

ab = ac.

=> bp = cn và bn = an = cp = ap.

Tâm tam giác đều

Vậy theo tính chất của tam giác đều ta có g là khối tâm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác abc.

Cách tìm trọng tâm tam giác

Trọng tâm của một tam giác là khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến ba đỉnh của tam giác.

Tâm của tam giác cân cũng sẽ được xác định như bình thường. Nhưng đây là tam giác đặc biệt nên ta coi nó cân tại điểm a của tam giác abc.

Tâm của tam giác vuông sẽ được xác định tương tự như các dạng tam giác trên. Nhưng bạn cũng nhận thấy rằng hình vuông nằm ở a của tam giác abc.

Tâm của tam giác vuông cân cũng được xác định như trên. Ta cũng xét điểm vuông góc a của tam giác vuông cân abc.

Cách 1: Giao điểm của 3 đường trung tuyến

Trọng tâm của tam giác được xác định bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Nối a với g, b với f, và c với e.

Bước thứ ba: Giao điểm i của ba đường trung trực ag, bf, ce là trọng tâm của tam giác abc.

Tùy chọn 2: Chia tỷ lệ theo giá trị trung bình

Trọng tâm của tam giác được xác định theo tỉ số đường trung tuyến.

Bước 2: Nối đỉnh a với trung điểm m rồi lấy s sao cho = 2/3 am.

Điểm s là trọng tâm của tam giác abc theo trọng tâm của tam giác.

Tâm tứ diện

Trọng tâm của một tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối các đỉnh với trọng tâm của tam giác đối diện.

Từ hình vẽ ta thấy trọng tâm của tứ diện abcd tại điểm g

Hướng dẫn chi tiết cách xác định trọng tâm tam giác

Xem Thêm : Cấu trúc câu hỏi và trả lời về bạn làm gì vào thời gian rảnh rỗi? | VOCA.VN

Để xác định trọng tâm của một tam giác, bạn có thể thực hiện theo hai cách:

Phương pháp đầu tiên

Giao điểm của 3 đường trung tuyến

Trọng tâm của tam giác được xác định bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

• Vẽ tam giác abc.
• Tìm trung điểm m của cạnh bc sao cho mb = mc.
• Kết hợp a với m để có trung vị am.
• Làm tương tự cho các cạnh và đỉnh còn lại, bạn sẽ vẽ lại 2 đường trung tuyến của tam giác này.
• Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là g. Khi đó, điểm g là trọng tâm của tam giác abc mà bạn đã vẽ.

Cách thứ hai:

Tỷ lệ theo trung bình

Trọng tâm của tam giác được xác định theo tỉ số đường trung tuyến.

• Vẽ tam giác abc.
• Tìm trung điểm m của cạnh bc sao cho mc = mb.
• Nối đỉnh a với điểm m để được trung tuyến am.
• Trên đường am lấy điểm g sao cho: ag = 2/3 am.
• Theo thuộc tính trọng tâm, điểm g là trọng tâm của tam giác abc mà bạn vừa vẽ.

Cách vẽ trọng tâm của tứ diện

Phương pháp 1

Cho tứ diện abcd. Khi đó 3 đường thẳng nối trung điểm của 3 cặp đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thẳng. Điểm đó là tâm của tứ diện abcd

Gọi trung điểm lần lượt là ab, bc, cd, da của m, n, p, q

Khi đó ta có: mq,np là trung bình cộng của Δabd và Δcbd

⇒ mq//np (và //bd)

⇒ mq=np=bd/2

⇒ mnpq là hình bình hành

⇒ mp∩nq tại trung điểm mỗi đoạn thẳng

Chứng minh tương tự cho các cặp cạnh chéo còn lại.

Vậy chứng minh trọng tâm của tứ diện

Phương pháp 2

Cho tứ diện abcd, trong đó g là trọng tâm của Δbcd. Lấy điểm k trên đoạn a sao cho ka=3kg. Khi đó điểm k là khối tâm của tứ diện abcd

Ta có:

Vì g là trọng tâm bcd gb + gc + gd = 0

ka + kb + kc + kd = ka + (kg + gb) + (kg + gc) + (kg + gd)

= ka + 3kg + (gb + gc + gd)

= ka + 3kg

Mặt khác, vì ka = 3kg ka + 3kg = 0

Vậy k là trọng tâm của tứ diện abcd

Kiến thức về đường trung tuyến của tam giác

Trung vị là gì?

Trong hình học, đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba trung tuyến. Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi đường trung tuyến của tam giác là tia phân giác của góc ở đỉnh và hai cạnh kề có độ dài bằng nhau. Trong hình học không gian, khái niệm tương tự là trung tuyến trong một tứ diện.

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng. Định nghĩa về trung vị rất ngắn gọn: trung vị của một đoạn là một đường sẽ đi qua trung điểm của đoạn.

Trung tuyến của tam giác là gì?

Trong hình học, đường trung tuyến của một tam giác được định nghĩa là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 trung tuyến.

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có ba trung tuyến.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Khoảng cách từ điểm đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh. Chúng tôi gọi giao điểm của ba trung tuyến của trọng tâm.

Tam giác vuông là tam giác có các góc trong bằng góc vuông (90 độ). Đường trung tuyến của một tam giác vuông sẽ có các tính chất của đường trung tuyến của tam giác. Trong một tam giác vuông, trung tuyến của cạnh huyền bằng một nửa độ dài của cạnh huyền.

<3

Tam giác abc vuông góc với b và độ dài trung tuyến bm bằng ma, mc và 1/2 ac

Ngược lại, nếu bm = ½ ac thì tam giác abc sẽ vuông góc với b.

Ba đường trung tuyến của một tam giác khi chúng cùng đi qua một điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. Điểm mà ba đường trung tuyến đi qua một điểm được gọi là trọng tâm.

Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm

Giả sử: g là trọng tâm tam giác abc

Kết luận: ag/ad=bg/be=cg/cf=2/3

Đồng thời 1 điểm

Xem Thêm : Tại sao nói ý thức là hình ảnh chủ quan của thế giới khách quan?

Ba đường trung tuyến của tam giác bằng nhau tại 1 điểm. Điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ tâm của tam giác đến một đỉnh bằng 2/3 độ dài trung tuyến của đỉnh đó.

Chia diện tích tam giác đều

Mỗi đường trung tuyến chia diện tích tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba đường trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

g là trọng tâm của tam giác abc

Một số bài tập trọng tâm

Bài tập 1 Trung tuyến ad = 9cm và trọng tâm i của tam giác abc. Tính độ dài của ai?

Câu 2: Gọi i là trọng tâm của tam giác đều mnp. Chứng minh: im = in = ip.

Bài toán 3: Gọi g là trọng tâm của tứ diện vuông oabc (hình vuông tại o). Biết oa=ob=oc=a. Tính chiều dài og



Giải pháp

Bài 1:

Ta lấy i là trọng tâm tam giác abc, ad là đường trung tuyến nên ai = (2/3) ad (theo tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác).

Do đó: ag = (2/3).9 = 6 (cm).

Người dài 6 cm.

Bài 2:



Các trung điểm lần lượt là mn, mp, pn r, o, s.

Khi đó ms, pr không hội tụ về trọng tâm i.

Ta đều có mnp, suy ra:

ms = pr = no (1).

Vì i là trọng tâm của abc nên nó có tính chất là đường trung trực:

mi = 2/3 mili giây, pi = 2/3 pr, ni = 2/3 không (2).

=>Từ (1) , (2) ⇒ ga = gb = gc.

Lùi 3: Trung tuyến ad = 9cm và trọng tâm i của tam giác abc. Tính độ dài của ai?

Giải pháp:

Do đó: ag = (2/3).9 = 6 (cm).

Người dài 6 cm.

Bài 4:

Gọi i là trọng tâm tam giác đều mnp. Chứng minh: im = in = ip.

Giải pháp:

Khi đó ms, pr không hội tụ về trọng tâm i.

Ta đều có mnp, suy ra:

ms = pr = no (1).

Vì i là trọng tâm của abc nên nó có tính chất là đường trung trực:

mi = 2/3 mili giây, pi = 2/3 pr, ni = 2/3 không (2).

Từ (1) , (2) ga = gb = gc.

Video về trọng tâm của tam giác

Kết luận

Qua bài viết trên các bạn đã biết trọng tâm là gì và cách xác định trọng tâm của tam giác rồi phải không? Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích cho bạn. Điểm nhấn rất dễ nhầm với các điểm khác, mong các bạn chú ý khi xác nhận!

Đăng bởi: thpt sóc trăng

Danh mục: Giáo dục