Phương trình sai phân

I. Các quan niệm cơ bản 1. Hàm số đối số ngulặng Hàm bao gồm tập xác minh trực thuộc Z điện thoại tư vấn là hàm số tất cả đối số nguim. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không nên phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại nhị quý giá tiếp đến nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp cho m của hàm số Un là sai phân của không nên...




Bạn đang xem: Phương trình sai phân

*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các có mang cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm tất cả tập xác minh ở trong Z Điện thoại tư vấn là hàm số gồm đối số nguim.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = simãng cầu (a là hằng số)2. Định nghĩa không nên phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số trên nhị quý hiếm kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cung cấp m của hàm số Un là không nên phân của không nên phân cung cấp m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp cho 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương tự ta hoàn toàn có thể màn trình diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình không đúng phân Định nghĩa : là PT với hàm số buộc phải tìm là một hàm đối số tách rộc rạc f (n) = Un gồm mặtdưới dạng không đúng phân những cung cấp.PT sai phân cấp m tất cả dạng tổng thể : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay hoàn toàn có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rộc Un =f(n) nhưng lúc cầm Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một nhất quán thức trên tập vừa lòng các số ngulặng n0.Nghiệm tổng thể của một PT không đúng phân cấp n gồm dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất kể, khi gán cho từng kí tự C1, C2,...,Cn một trong những xác địnhta được một nghiệm riêng rẽ của PT.PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình sai phân đường tính1. Phương trình không nên phân con đường tính cấp cho 1Định nghĩa: Là pmùi hương trình bao gồm dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong đó an, bn, fn là những hàm đối số nguyên ổn. Un với Un+một là hai cực hiếm kề nhau của hàmUn đối số ngulặng nên tra cứu.Nếu an với bn là các hằng số thì ta gồm phương trình không nên phân thông số hằng.Pmùi hương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) call là phương thơm trình thuần độc nhất vô nhị khớp ứng của (1).Ví dụ:Một quý khách tất cả số chi phí là A đồng, lấy gửi tiết kiệm, lãi xuất từng tháng là 1%.Lập quy mô về tình hình chi phí vốn của khách hàng. 1Ta bao gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình sai phân cấp caoa. Pmùi hương trình không đúng phân cấp cho 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là các hằng số thì ta bao gồm phương thơm trình sai phân thông số hằng.Nếu fn = 0 thì ta tất cả phương thơm trình thuần độc nhất liên kếrã.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là 1 trong nghiệm của PT không đúng phân đường tính không thuần tốt nhất với U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần độc nhất vô nhị liên kết thì nghiệm bao quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã mang đến Fibonacci một bài tân oán nlỗi sau: “Hômni, bạn ta Tặng Ngay tôi một cặp thỏ. Biết thỏ nhì tháng tuổi bắt đầu đẻ với kế tiếp mỗimon đẻ một lứa, từng lứa là 1 trong những cặp thỏ. Hết năm, tôi bao gồm bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: Gọi Fn là số cặp thỏ đạt được sống mon vật dụng n.Tháng trước gồm Fn-1 cặp, trong những số đó chỉ bao gồm số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình sai phân cung cấp kLà phương trình tất cả dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình sai phân con đường tính cấp 1 hệ số hằng1. Phương thơm trình không đúng phân con đường tính thuần độc nhất vô nhị Nghiệm tổng quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân số TP Hà Nội là 1,6 triệu con người, vận tốc tăng dân sinh là 1% một năm. Hỏisố lượng dân sinh thủ đô năm 2050 là bao nhiêu?Giải: call un là dân sinh thủ đô năm vật dụng n + 1990 1Ta tất cả un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương thơm trình không đúng phân con đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần độc nhất vô nhị links Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 trong những nghiệm của PT không đúng phân tuyến tính ko thuần độc nhất vô nhị (1) và U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất links (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm bao quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tìm nghiệm riêng rẽ của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng rẽ là = qn.IV. Phƣơng trình không nên phân tuyến tính cung cấp 2 thông số hằng1. Phương trình không đúng phân tuyến tính thuần duy nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng chính là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn độc lập con đường tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng biệt tự do đường tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm bao quát của (3).Chứng minh:call Un là một trong nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng tỏ rằng trường thọ Au cùng Bu làm thế nào để cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số phụ thuộc un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm độc nhất Au với Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minc bởi quy nạp, ta có Un = Au.xn + Bu.yn hồ hết nghiệm của (3) phần đa biểu diễn qua xn với yn đ.p.c.mTa search nghiệm riêng bên dưới dạng xn = λn (λ 0).

Xem thêm: Phim Ký Sinh Trùng Full Hd Vietsub, Phim Ký Sinh Trùng Full Vietsub, Thuyết Minh



Xem thêm: Sinh Năm 1982 Mệnh Gì ? Tử Vi Cho Người Sinh Năm 1982 Thiên Mộc Hương

Tgiỏi vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương thơm trình (4) điện thoại tư vấn là phương trình đặc trưng của (3).Trường phù hợp 1: Nếu (4) gồm hai nghiệm thực biệt lập λ1 và λ2 (3) gồm nhị nghiệmriêng hòa bình tuyến đường tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm bao quát Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường phù hợp 2: Nếu (4) bao gồm nghiệm kxay là λ0, (3) có nhị nghiệm riêng biệt độc lập tuyếntính xn= λ0n với yn = n.λ0n .Nghiệm bao quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường phù hợp 3: Nếu (4) tất cả nhị nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) cùng cùng với r = A2 + B2 và α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) có nhì nghiệm riêng tự do đường tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm tổng thể Un = rn . 4lấy ví dụ như 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Pmùi hương trình sệt trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 Hệ phương thơm trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1. nVậy nghiệm riêng rẽ hài lòng là un = 2 – 2 5lấy ví dụ 2: Tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 cùng λ2 = 2 1Vậy nghiệm tổng thể un = A 2n + B.2n. u0 = A + B = 0 Hệ phương thơm trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng rẽ buộc phải kiếm tìm là un = 3 (2-n – 2n)lấy ví dụ 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Pmùi hương trình đặc trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng thể un = (A + Bn)5nVí dụ 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm bao quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ pmùi hương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng yêu cầu search là un = 1 + nlấy ví dụ như 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. n.Vậy nghiệm bao quát un = Acos 3 + Bsin 3lấy ví dụ như 6: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. n.Vậy nghiệm bao quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 với B = 0. n.Vậy nghiệm riêng biệt đề nghị tìm là un = 2n.cos 32. Phương thơm trình không đúng phân tuyến tính ko thuần độc nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta search nghiệm riêng biệt U*n của (5) : ? r+) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng rẽ là : U*n = 1pq+) Nếu p+q = -1 rn khi p -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi p = -2 thì nghiệm riêng rẽ là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần độc nhất links ta suy ra nghiệm tổng thể của (5).Trường hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét sống dạng tổng quát đến PT không nên phân tuyếntính hệ số hằng cấp cho k.V. Phƣơng trình sai phân tuyến đường tính cấp k hệ số hằng.1. Phương trình không nên phân đường tính thuần nhất cấp k hệ số hằng:Là phương trình gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong số đó a0, a1, …, ak là các số thực. 6Ta kiếm tìm nghiệm riêng dưới dạng Un = λn, gắng vào (6) ta có phương thơm trình đặc trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường hòa hợp 1: Nếu (7) có k nghiệm thực khác nhau λ1, λ2, … λk ta gồm k nghiệmriêng biệt độc lập tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng quát : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường hòa hợp 2:Nếu (7) tất cả nghiệm bội, ví dụ điển hình λ1 gồm bội s cùng k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế sửa chữa s nghiệm riêng biệt x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm bao quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường phù hợp 3: Nếu pmùi hương trình (7) bao gồm nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu được nghiệm phức phối hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) và k-2 nghiệm thực rành mạch, khikia tương ứng ta sửa chữa x1n = rn.cosnα với x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng thể.Nghiệm bao quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknlấy ví dụ như 1: Tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 và λ3 = 5Vậy nghiệm bao quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nlấy một ví dụ 2: Tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Pmùi hương trình sệt trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 và λ3 = 3Vậy nghiệm bao quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 với C = -5.Vậy nghiệm riêng toại nguyện là un = (5 + 3n).2n – 5.3nví dụ như 3: Tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Pmùi hương trình đặc trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. n.Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Pmùi hương trình không đúng phân tuyến tính không thuần tốt nhất cấp k thông số hằngLà phương thơm trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong số đó a0, a1, …, ak là những số thực, fn 0n.Phương thơm trình thuần độc nhất tương ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm tổng thể của phương trình (8) bằng nghiệm bao quát của phươngtrình (6) cùng cùng với nghiệm riêng biệt bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng quát của (6) với xn là nghiệm riêng biệt của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng biệt ngẫu nhiên của (8) cũng là nghiệm riêng rẽ của (6). Vậynghiệm tổng thể của (8) bởi nghiệm tổng quát của pmùi hương trình (6) cùng vớinghiệm riêng rẽ bất kỳ của (8).Cách tìm nghiệm riêng biệt xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường hòa hợp 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cấp s của pmùi hương trình đặc thù ( s rất có thể nhấn giá trị 0) thìnghiệm riêng có dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) cùng tìm ci bởi phươngpháp thông số biến động. Nếu λ = 1 không là nghiệm của phương thơm trình đặc trưng thì nghiệm riêng tất cả dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 với search Ci bằng cách thức thông số cô động. fn = Pm(n).βnTrường vừa lòng 2: Nếu λ = β là nghiệm cung cấp s của phương thơm trình đặc thù (s có thể nhận cực hiếm 0) thìnghiệm riêng tất cả dạng xn= Qm(n).ns.βn, thế vào phương thơm trình tra cứu Qm(n) bằng phươngpháp thông số cô động. Nếu λ = β không là nghiệm của phương thơm trình đặc trưng thì nghiệm riêng rẽ gồm dạngxn= Qm(n).βn, vắt vào phương trình tra cứu Qm(n) bằng phương pháp hệ số cô động. fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường đúng theo 3: Ta tra cứu nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong số đó x1n là nghiệm riêng biệt ứng với f1(n) = Rl(n) (đưa về trường thích hợp 1) và x2n lànghiệm riêng rẽ ứng với f2(n) = Pm(n).βn (mang lại trường thích hợp 2). 5ví dụ như 1: Tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương thơm trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 không là nghiệm ta tìm kiếm nghiệm riêng biệt dạng xn= an2 + bn+ cTxuất xắc vào phương thơm trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. xn = -2n2 + 2n - 10Đồng tốt nhất hệ số a = -2, b =2 với c = -10lấy ví dụ 2: Tìm một nghiệm riêng của pmùi hương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương thơm trình đặc trưng λ2 –1 = 0 λ1= 1 với λ2 = -1 λ = một là nghiệm đơn ta tìm kiếm nghiệm riêng biệt dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Tgiỏi vào pmùi hương trình a = 1, b = c = 0 5ví dụ như 3: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương thơm trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Pmùi hương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 ta kiếm tìm nghiệm riêng dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Thay vào pmùi hương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nVí dụ 4: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc thù λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 với λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm đơn ta tìm nghiệm riêng dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nlấy ví dụ như 5: Tìm một nghiệm riêng rẽ của pmùi hương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 cùng ví dụ 3 nghiệm riêng xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không đúng phân 9

Chuyên mục: Tin Tức