Chương Vi : Phương Trình Sai Phân Là Gì? Hướng Nghiên Cứu Của
I. Các khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa sai phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 – Un Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai…
- 260 Nhân Viên Dán Tem Việc Làm, Tuyển Nhân Viên Dán Tem Son Tại Nhà
- Bình Chọn Giải Mai Vàng 2019 Khởi Động Vòng Đề Cử, Giải Mai Vàng 2019 Khởi Động Vòng Đề Cử
- Trọn Bộ Giáo Trình Office 2016 Giáo Trình Tự Học Word 2016 Tin Học Văn Phòng
- Định Luật Kirchhoff 1 Và 2
- Nhận Xét Ưu Khuyết Điểm Của Người Xin Vào Đảng Viên Dự Bị Mới
Đang xem: Phương trình sai phân
CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các khái niệm cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số tại hai giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 – UnSai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai phân cấp m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 – Δm-1UnChẳng hạn sai phân cấp 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 – Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương tự ta có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,…, Un+mI. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT với hàm số phải tìm là 1 hàm đối số rời rạc f (n) = Un có mặtdưới dạng sai phân các cấp.PT sai phân cấp m có dạng tổng quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,…, ΔmUn) = 0Hay có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,…, Un+m) = 0Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc Un =f(n) mà khi thay Un = f(n), Un+1=f(n+1),…, Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên n0.Nghiệm tổng quát của một PT sai phân cấp n có dạng : Un =f(n, C1, C2,…,Cn) trong đóC1, C2,…,Cn là các hằng số bất kì, khi gán cho mỗi kí tự C1, C2,…,Cn một số xác địnhta được một nghiệm riêng của PT.PT sai phân Ôtônôm là PT có dạng Un+m = f(Un, Un+1,…, Un+m-1) 1II. Phƣơng trình sai phân tuyến tính1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1Định nghĩa: Là phương trình có dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong đó an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un và Un+1 là hai giá trị kề nhau của hàmUn đối số nguyên cần tìm.Nếu an và bn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng của (1).Ví dụ:Một khách hàng có số tiền là A đồng, đem gửi tiết kiệm, lãi xuất mỗi tháng là 1%.Lập mô hình về tình hình tiền vốn của khách hàng. 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình sai phân cấp caoa. Phương trình sai phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là các hằng số thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta có phương trình thuần nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất và U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất liên kết thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một bài toán như sau: “Hômnay, người ta tặng tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi bắt đầu đẻ và sau đó mỗitháng đẻ một lứa, mỗi lứa là một cặp thỏ. Hết năm, tôi có bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: Gọi Fn là số cặp thỏ có được ở tháng thứ n.Tháng trước có Fn-1 cặp, trong đó chỉ có số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình sai phân cấp kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nghiệm tổng quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = – pUnVí dụ:Năm 1990 dân số Hà Nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1% một năm. Hỏidân số Hà Nội năm 2050 là bao nhiêu?Giải: Gọi un là dân số Hà Nội năm thứ n + 1990 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất liên kết Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là một nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần nhất (1) và U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tìm nghiệm riêng của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng là = qn.IV. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn độc lập tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng quát của (3).Chứng minh:Gọi Un là một nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng minh rằng tồn tại Au và Bu sao cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số phụ thuộc un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm duy nhất Au và Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bằng quy nạp, ta có Un = Au.xn + Bu.yn mọi nghiệm của (3) đều biểu diễn qua xn và yn đ.p.c.mTa tìm nghiệm riêng dưới dạng xn = λn (λ 0).
Xem Thêm : Điểm Thi, Điểm Chuẩn Lớp 10 Thpt Gio Linh Tỉnh Quảng Trị 2015
Xem thêm: Phim Ký Sinh Trùng Full Hd Vietsub, Phim Ký Sinh Trùng Full Vietsub, Thuyết Minh
Xem thêm: Sinh Năm 1982 Mệnh Gì ? Tử Vi Cho Người Sinh Năm 1982 Thiên Mộc Hương
Thay vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3).Trường hợp 1: Nếu (4) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 và λ2 (3) có hai nghiệmriêng độc lập tuyến tính xn = λ1n và yn = λ2n .Nghiệm tổng quát Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm kép là λ0, (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường hợp 3: Nếu (4) có hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) và với r = A2 + B2 và α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là xn = rn.cosnα và yn = rn.sinnαNghiệm tổng quát Un = rn
Nguồn: https://xettuyentrungcap.edu.vn
Danh mục: Tin Tức